[미적분] a의 b제곱, b의 a제곱, 어느 것이 더 클까?

 

환영합니다, Rolling Ress의 카루입니다.

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사실 예전에 쓰다가 중간에 포기한 글입니다. 제가 내용을 이해하지 못하겠어서요. 그런데 지금 개념 정리가 거의 완벽하게 되어서 다시 글을 써보려고 합니다. 역시 일반화가 제일 힘드네요.

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양의 실수 a, b에 대해 a의 b제곱과 b의 a제곱 중 어느 게 더 클까요? 정답은 "모른다"입니다. 정해지지 않은 거죠. 그런데, 그래프 하나만으로 이들의 대소비교를 하는 법을 알려드리고자 합니다.

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일반적인 예시는 건너뛰고 바로 본론으로 들어가죠.

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실수의 대소관계에 의해 a의 b제곱과 b의 a제곱도 실수이므로 두 수에 대해 다음 중 하나가 성립합니다.

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양변에 1/ab승을 곱해주도록 합시다.

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a > 0, b > 0이므로 지수법칙에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

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식이 더 간단해졌죠. 여기서 함수 f(x)를 잡아봅시다.

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이런 그래프가 나오게 됩니다. 특정 지점까지 증가하다가 감소하는 모양이죠. 미분해봅시다. 참고로 지수가 있기 때문에 양쪽에 로그를 씌운 뒤 미분을 해줘야 합니다. 그러면 아래와 같은 식을 얻을 수 있죠.

x	...	e	...
f'(x)	+	0	-
f(x)	↗	f(e)=1.44 (최대)	↘

f'(x)=0은 x=e의 근을 갖습니다. 다시 말해, 함수 y = f(x)는 x = e에서 최댓값을 갖는다는 뜻이죠.

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자, 그럼 결론을 내줄 그래프가 완성되었습니다. 이제 그래프에 적당한 수를 곱하고 더해서 보기 편하게 만들어봅시다.

 

곱하기를 생략하니까 ef라는 함수로 인식해버리네요. 뭐... 그래요. 여튼, 이제 결론이 났습니다.

a = 4, b = 6이라고 합시다. 그러면 g(4) < g(6)이죠. 이때는 4의 6제곱이 6의 4제곱보다 큽니다. g(x) 안에 들어가는 숫자를 지수로 보시면 편해요. e를 기점으로, 지수가 큰 수가 더 큽니다. 둘 다 e보다 작을 때는 반대고요. 만약 a > e, b < e라면 직접 그래프를 그려서 확인해봐야 합니다.

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자, 이걸 이해하느라 몇 달이 걸렸는지 모르겠네요. 오늘도 저의 지적 호기심을 충족하고 갑니다.