내가 가장 좋아하는 식들 (수학 / 화학)

환영합니다, Rolling Ress의 카루입니다.

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이런 포스팅도 새롭죠. 아실 분들은 아시겠다만, 저는 고양국제고등학교 재학생입니다. '국제고등학교', 문과 학교라고 생각하실 수 있죠. 그리고 실제로 문과 학교 맞습니다. 미적분을 배우긴 하지만, 과학 II 과목들을 배우지 않아요. 그래서 저처럼 이과 계열 학생들은 해당 공부를 스스로 해야한다는 불편함이 있죠.

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꼭 입시를 위한 과목이 아니더라도, 공부하다보면 재밌는 것들을 종종 발견하고는 합니다. 요즘엔 제가 화학에 빠져서 화학 공부를 하고 있는데, 와...삶에 낙이 생겼습니다. 오늘은 제가 인상깊었던 식을 두 개 소개해드리려고 해요. 하나는 화학(고등학교 화학 II)에서, 다른 하나는 수학에서 나온 식입니다.

 

1. 이상 기체 방정식

 

제일 좋아하는 수식 1위입니다. 정말 예뻐요. 여기서 말하는 '예쁘다'는 건, 다양한 정보를 담고 있으면서도 깔끔하다는 점입니다. 우선 이 식을 조금 더 파고들어가볼게요.

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P: 압력 (atm)

V: 부피 (L)

n: 몰수 (mol)

R: 기체상수 (0.082 atm·L/(mol·K))

T: 온도 (K)

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얼핏 보면 간단해보이는 식이지만, PV = nRT 한 줄에 보일의 법칙, 샤를의 법칙, 아보가드로의 법칙, 기체 반응 법칙이 모두 포함되어 있습니다. 하나씩 분석을 해보자면

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① 보일의 법칙: 같은 온도에서 일정량의 기체의 부피와 압력은 반비례한다.

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② 샤를의 법칙: 같은 압력에서 일정량의 기체의 부피는 온도가 1 ˚C 높아질 때마다 0 ˚C 때 부피의 1/273씩 늘어난다. => 기체의 부피는 온도에 비례한다.

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③ 아보가드로의 법칙: STP 상태(0 ˚C, 1기압)에서 기체 1몰의 부피는 22.4 L로 일정하다.

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식이 세 개가 나왔습니다. 각각의 식을 정리해봅시다.

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식이 나왔습니다. 이제 여기에 단위와 값을 맞춰줄 상수 'R'을 추가해보죠. 이 R은 기체 상수라고 부릅니다.

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유도가 끝났습니다. R도 상수이니 값이 있겠죠? 아보가드로 법칙에서 STP 상태인 기체 1몰은 22.4 L의 부피를 차지한다는 것만 알면 됩니다.

​R값이 나왔습니다. 이제 이상 기체 방정식을 통해 기체의 분자량을 구할 수도 있습니다. (몰수) = (질량)/(분자량)이기 때문이죠. 아직까지도 이 식을 처음 봤을 때 느낀 짜릿한 전율을 잊을 수가 없습니다. 정말 좋아하는 식이에요. 유도도 쉽고, 계산도 쉽고 (적어도 아래 나올 '어떤' 등식에 비하면...) 많은 정보를 깔끔하게 나타내니까요.

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2. 오일러 등식

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중학교 2학년 때, 수학 선생님께서 "가장 많이 쓰이는 숫자 5개가 무엇일까?" 라면서 저희에게 질문을 던지셨습니다. 당시 저희 중학교는...음... 말을 생략하도록 할게요. 면학 분위기가 좋은 편은 아니었습니다. 대답하는 학생이 저와 다른 한 친구 밖에 없었죠. 가장 쉽게 생각했던 건 0과 1이었습니다. 맞아요. 그러나 나머지는 머리를 꽁꽁 싸매도 찾기 힘들었습니다.

마침내 π를 생각해냈죠. 중학교에 들어온 이후 심심찮게 보이니까요. 그리고 혹시나 하는 마음에 i를 외쳤는데, 역시 정답입니다. 그런데 마지막 하나는 알 수 없었어요. 그건 바로 자연로그의 밑인 e였습니다.

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세상에서 가장 많이 쓰이는 숫자 다섯개. 이것만 해도 경이롭습니다. 그런데, 이것들을 하나의 식으로 나타낼 수 있다면 어떨까요?

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이게 됩니다. ....돼요. 진짜 됩니다. 정말 간단하게 얘기하자면 오일러 공식을 끌어다 쓸 수 있습니다.

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여기서 x = π를 대입해보죠.

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라디안과 삼각비만 알고 있다면 쉽게 풀리는 문제입니다. 그런데 중요한 건 바로 이 '오일러 공식'이 어떻게 나왔느냐겠죠. 테일러 급수에, 미분방정식에, 극한에, 3차원 복소평면에.... 정말 별 개념이 다 나옵니다. 그런데 신기한 건 또 그렇게 많은 개념들이 저 식 하나로 정리가 된다는 거겠죠.

https://youtu.be/kgTSUZjVqas

제가 설명할 수 있는 부분이 아니라 유튜브 영상으로 대체하겠습니다. 정말...재밌어요. 고등학교 수학을 아신다면 대부분 이해할 수 있는 내용이니, 꼭 보시길 추천드릴게요. 시간 가는 줄도 모르고 계속 보고 있었습니다.

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이상으로, 제가 가장 좋아하는 식에 대해 설명해드렸습니다. 역시 알수록 매력이 더 큰 것 같아요. 잘 모를 때는 "어? 그냥 알파벳이랑 숫자가 있네" 하고 끝났는데, 화학에 대해서, 수학에 대해서 더 탐구하고 알아갈수록 보이는 시야가 트여서 그런 것 같기도 합니다. 물론 제 친구들은 약간 저를 좀 미친 사람(...)취급하지만, 그래도 좋아요. 무언가에 푹 빠질 수 있다는 것도 상당히 좋은 경험일 테니까요.