[NOCHES+MATH] 극한의 심화

환영합니다, Rolling Ress의 카루입니다.

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극한의 정의를 살펴봅시다.

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근데 이 표현 자체가 마음에 안 들어요. "한없이", "가까워진다"라는 게 무슨 뜻일까요? 어...글쎄요. 저도 잘 모르겠어요. 그냥 이렇게 얼렁뚱땅 설명만 하고 넘어갑니다. 그래서 제대로 된 개념조차 잡기 어렵죠.

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문제를 하나 내겠습니다.

 

"x가 a에 한없이 가까워지면, lim f(x)는 L에 한없이 가까워진다.

맞으면 O, 틀리면 X"

 

정답은 X입니다. "아니, 맞지 않아요?" 글쎄요.

lim f(x) = L, 등호를 썼죠. 같다는 얘기입니다. lim f(x)가 L로 간다는 얘기가 아닙니다. lim f(x)는 L과 정확히 같습니다. 기억하세요. 이걸 모르고 있다간 여러분들은 혼란에 빠지실 겁니다. 저기 가우스 기호라도 들어가면 틀리기 십상이에요. 극한값은 그냥 저렇게 정의된 거기 때문에, 착각하시면 안 됩니다.

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아무튼, 이제 극한을 수학적으로 정의해봐야겠죠. 머리 터지실 수도 있습니다. 적당히 이해만 하고 넘기세요. 원래 대학교에서 배우는 내용입니다.

​ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ...이게 처음 보면 "뭔 소리여?" 하실 수 있어요. 저도 그랬습니다. 식으로만 봐선 이해가 어려워요. 그래프를 하나 들고 오죠.

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아참, 저 식의 의미는 "적당한 양수 ε(엡실론)에 대해, 적당한 양수 δ(델타)가 존재하고, x와 a의 거리가 δ보다 작지만 0이 아니라면 f(x)와 L의 거리가 ε보다 작다"라는 뜻입니다.

이런 함수가 있다고 칩시다. 생긴걸 보니 무리함수거나 로그함수거나 뭐 그런 것들이겠죠. 이 함수는 x=a에서 극한값 lim f(x)=L을 갖습니다.

일부를 확대해보면, 이런 모습이 나옵니다. 엡실론을 제시해서 저렇게 파란 구간이 나왔을 때, f(x)가 해당 구간 안에 있도록 하는 x가 나올 수 있도록 적절히 델타를 제시하면 되는 거죠.

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여기서 논점은, 극한이 존재한다면 엡실론을 얼마로 줄이든 그에 해당하는 델타가 항상 존재한다는 겁니다.

더 확대를 해봐도, 엡실론은 충분히 줄었는데 역시 좌우로 공간이 살짝 남으니까 해당 자리에 델타를 위치시키면 되죠. 어렵지 않습니다.

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자, 그럼 극한이 존재하지 않는 경우는 어떨까요? 발산하는 경우와 우극한&좌극한 값이 다른 경우인데, 발산하는 경우는 어차피 절댓값 부분에서부터 문제가 생기니 좌우극한을 보겠습니다.

이번 f(x)는 x=a에서 불연속입니다. 극한값도 없겠죠.

자, 근데 이렇게 하면... 극한값이 존재한다는 결론이 나오게 됩니다. 왜일까요? f(x)가 저 파란 구간 안에 있을 수 있게 해주는 x값이 녹색 구간 안에 있죠?

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자, 그런데 여기서 중요한 건 얼마나 줄이든지에 관계 없이 항상 델타가 존재해야 극한이 존재한다는 겁니다.

이걸 봅시다. 엡실론을 충분히 줄이니까, f(x)의 그래프가 끊어졌죠. x 값을 찾아봅니다. 일단 어쨌든 실수 전체의 집합에서 정의된 함수이므로 델타 구간에서 x값이 존재하긴 하는데, 그렇다고 해서 해당 구간의 x를 f(x)에 대입했을 때 함숫값이 엡실론 구간에 들어가지 않습니다. 즉, 극한값이 존재하지 않습니다. 중요한 건 델타는 엡실론의 함수로 나타낼 수 있으며, 델타는 엡실론에 종속된다는 점입니다.

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자, 어떤가요? 오히려 혼란만 드린 게 아닐까 싶네요. 사실...저는 극한이 가장 어려웠습니다. 여전히 배울 게 많기도 하고요. 다음 시간에는 조금 쉬어가는 차원에서 미분에 대해 심화적으로 다룰 겁니다.