[NOCHES+MATH] 미분의 심화

환영합니다, Rolling Ress의 카루입니다.

​

지난시간에 극한과 엡실론-델타 논법에 대해 설명해드렸죠. 네...뭐. 고등학교 수학을 풀 땐 그렇게까지 중요한 개념은 아닙니다. 진짜 중요한 건 지금부터입니다. 미분은 뭐고, 적분은 뭐냐? 둘의 관계는 뭐냐? 여기에 대해 정말 하고 싶은 말이 많아요. 가봅시다.

 

미분이란? 순간적인 변화를 캐치하는 것!

 

네. 3x를 미분하면 3이 되는 사실을 모르는 사람은 없을 겁니다. 근데 왜 저런 값이 나왔는지 알아야겠죠. 미분에 대해 배울 때 순간변화율이란 표현을 배우는데, 이게 핵심입니다. 미분이란, 순간적인 변화를 캐치하는 것입니다.

정사각형이 있습니다. 한 변의 길이를 x라고 하면, 이 정사각형의 넓이는 x²이 되겠죠. x는 계속 변화하므로, 정사각형의 넓이인 x²도 끊임없이 변화합니다. 그 변화가 지금 색상으로 보이네요.

자, 변화를 캐치해봅시다. 줄어드는, 혹은 늘어나는 순간을 포착하면 저런 ㄱ자 모양 막대기가 나오죠. 이게 미분입니다.

여기서 막대의 두께는 Δx, 즉 x의 증분 (변화량)입니다. 높이는 그냥 x가 될 거고요. 그런데, 미분이란 건 정말 순간적인 변화를 캐치하는 일이기 때문에, Δx를 한없이 작게 줄여보겠습니다.

그럼 이렇게 선분이 되어버리죠. 즉, x²의 변화는 x 변화의 2x배가 됩니다. 왜냐고요? 방금 봤잖아요. x는 알아서 변하는데, x²은 변할 때 x 두 개의 영향을 받죠. 2x.

$d\left(x^2\right)=2x\ dx$d(x2)=2x dx​

그래서 이런 식이 나오게 됩니다. 여기서 양변을 dx로 나눠볼게요.

$\frac{d\left(x^2\right)}{dx}=2x$d(x2)dx​=2x​

이때 y = x²으로 두고 치환하면

$\frac{dy}{dx}=2x$dydx​=2x​

이런 식이 됩니다. 도함수를 나타날 때 왜 dy/dx라는 표현을 쓰는지 아시겠죠. 저건 나누기 연산자로 봐선 안 된다고 하긴 하는데...이걸 나눌 때도 있고, 곱할 때도 있습니다. 그냥 산술적인 분수 기호와는 다르다고 이해하고 넘기는 게 편합니다.

미분계수의 정의는 생각보다 간단합니다. 평균변화율이 그래프 상에서 두 점을 잡아 기울기를 구하는 거였다면,

미분계수 내지는 순간변화율은, 그 두 점을 아주 가까이 (이도 수학적인 정의는 아니죠.. 근데 또 여기다 엡실론 델타 끌고 오면 여러분 머리가 터질 것 같습니다. 그냥 간단하게 설명할게요) 끌고 오면 거의 한 점 처럼 겹쳐지게 되는데, 그 때 두 점 사이의 기울기, 즉 그래프와의 접선을 뜻합니다.

​

도함수와는 또 달라요. 도함수는 이걸 일반화시킨 거라고 보시면 됩니다. 그래서 도함수에 특정한 값을 넣으면, 해당 좌표에 해당하는 접선의 기울기가 함숫값으로 나오게 됩니다.

​

f(x)의 도함수 f'(x)에 대해, x=a를 대입하면 나오는 함숫값인 f'(a)가 f(x)가 x=a일 때 접선의 기울기와 같은 개념이니까요.