[NOCHES+MATH] 선형방정식은 계산하지 말자

환영합니다, Rolling Ress의 카루입니다.

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수학 공부 할 때가 제일 신나요. 뭔가 이것저것 법칙을 알아가는 기분. 영어는 언제부턴가 흥미를 잃었습니다. 특히 국제고 영어...우우욱.

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아무튼, 오늘은 선형방정식에 다뤄볼까 합니다.....ㄷㄷㄷㄷㄷㄷㄷ만! 나가지 마세요, 쉬운 내용입니다. 선형방정식은 일차방정식의 다른 이름입니다. 즉, 오늘은 일차방정식을 쉽게 푸는 법에 대해 알아볼까 합니다.

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목차

- 덧셈과 곱셈의 항등원

- 일차방정식

- 연립일차방정식

 

덧셈과 곱셈의 항등원

매우 중요한 개념입니다. 항등원이란, 연산을 해도 값이 변하지 않는 수를 의미합니다. 기호로는 e를 쓰는데, 자연로그의 밑 e와는 엄연히 다르므로 주의하세요. ln e = 1 여기서의 e는 보통 기울여서 많이 쓰죠.

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아무튼, 덧셈에서도 항등원이 있고, 곱셈에서도 항등원이 있습니다.

​어떤 수 a가 있습니다. 여기에 0을 아무리 더해도 여전히 a죠. 다시 말해서, 어떤 수 a에 다른 어떤 수 e를 무한정 더했는데 여전히 결괏값이 a이다, 그럼 e=0입니다. 선형방정식을 풀 때 매우 중요한 개념입니다. 너무 당연한 거라 간과하는 경우가 있는데, 우리 NOCHES들은 그렇지 않을 거라 믿겠습니다.

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곱셈에서도 항등원이 존재합니다. 뭘 곱해야 같은 수가 나올까요? 네, 이미 알고 있죠.

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여기서도 마찬가지입니다. 어떤 수 a에 다른 어떤 수 e를 무한정 곱했는데 a가 나온다면, e=1입니다. 쉽죠?

 

일차방정식

중학교 때 처음 만나서 수능때까지 계속 우리를 괴롭히는 일차방정식. 물론 나중에 삼~사차까지 나오고 나면 정말 선녀가 따로 없습니다. 그런 만큼, 사소한 실수해서 틀리면 그것만큼 열받는 일이 없겠죠.

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아까 항등원에서 사용했던 예시를 들어봅시다.

​위는 예시고, 아래는 유도된 결과입니다. 간단하죠. 슬슬 복잡해져가는데, 이건 이해를 해야 합니다. 연립방정식에서는 조금 더 복잡해지니까요. 일단 여기까지는 어려움이 없으시죠?

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그리고, 가급적 이항해서 푸는 방식은 삼가하세요. 뭔소리냐? 힘 빼서 식 쓰지 말라는 겁니다. 그냥 쳐다만 봐도 답이 나오는 걸 이항해서 풀 필요는 없죠. 사고 회로를 살짝 바꾸자는 의미입니다. 물론, 연습이 조금 필요하지만요.

​자, 여러분이 늘 하는 것처럼 풀어보겠습니다.

​그냥 이렇게 넘겨서 풀겠죠? 네, 일단 적어도 대한민국 교육과정에서는 정석적인 방법이긴 합니다. 그런데, 이걸 수식으로 보지 말고 눈으로 이해하자는 겁니다.

 

"5x는 2x에 x를 세 번 더한 것인데, 그 값이 6이다."

 

제 방식대로 풀어보겠습니다.

"아니, 똑같잖아!" 라고 반문하시는 분들이 계실지도 모르겠습니다. 네, 저도 처음엔 그랬어요. 반은 맞는 말입니다. 식이 단순할 때는, 이항해서 푸는 것과 이렇게 분해해서 푸는 것이 별 차이가 없어요. 다만, 이렇게 좌변과 우변을 비슷하게 만들어서 선형방정식을 풀면 검산할 필요가 없습니다. 그 자체가 이미 '등식'이니까, 불확실성이 사라지는 거죠. 원글을 작성할 때는 예시를 더 썼는데, 불필요한 반복이라 그냥 바로 연립방정식으로 넘어가겠습니다.

 

연립일차방정식

설마 이걸 진짜로 계산하시는 분들은 없으시죠?

 

​....어휴. 제가 봐도 머리가 아픕니다. 그러니까, 조금 더 본질적인 방향으로 갑시다.

위 연립방정식에서, 첫번째 식과 두번째 식의 차이가 무엇인가요? a의 부호밖에 없습니다. 즉, 아래와 같이 생각해봅시다.

 

"어떤 수 2b에 a를 아무리 더하고 빼도, 2b=16이다."

 

엇, 그렇습니다. 여기서 a는 덧셈에 대한 항등원입니다. 즉, 연산의 결과에 영향을 미치지 않죠. 따라서 a는 덧셈의 항등원인 0이 됩니다. 위 연립방정식은 그냥 아래와 같은 단순한 선형방정식으로 바뀝니다.

​단 한 줄로 줄었습니다. 수학은 기계적으로 푸는 게 아닙니다. 미적분을 공부하고 있지만 아주 기본적인 개념조차 제대로 갖추지 않아 쉬운 문제를 빙빙 둘러서 푸는 경우가 허다하죠. 이건 저 뿐만이 아닐 거라고 확신할 수 있습니다. 일단 여기서 알 수 있는 건, 연립선형방정식에서 나머지 식은 동일한데 한 변수의 계수만 다르다, 그럼 그 변수의 값은 0입니다.

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아주 간단해요. 항등원의 응용입니다. 다른 횟수를 더했는데 값이 같다? 그럼 항등원이죠. 직관적으로 이해하고 응용할 수 있는 수학 개념이 늘어날수록, 여러분들이 문제 풀 때 걸리는 시간이 단축됩니다. 다시 말해서, 노가다를 뛰지 않아도 된다는 거죠.