함숫값이 없어도(불연속) 미분이 가능할까? (ft. 극한, 연속, 미분의 개념)

환영합니다, Rolling Ress의 카루입니다.

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NOCHES 글이긴 한데, 제 탐구 일지이므로 반말로 쓸게요.

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"미분 가능하면 연속이다" 라는 명제가 있다. 물론, 이 명제는 참이다. 이 명제를 대우시키면, "불연속이면 미분 불가능하다"가 된다. 명제의 대우이므로, 이 역시 참이다. 그런데, 정말 불연속이면 미분이 불가능할까?

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그렇다면, '연속'과 '미분'의 정의를 다시 짚어보자.

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함수의 연속

고등학교 교육과정상에서는 '좌극한 = 우극한 = 함숫값'이 성립할 때 그 함수를 연속이라고 칭한다. 더 정확하게 하자면,

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이 식이 성립하면 함수 f(x)는 x=a에서 연속이다. 자, 그런데. 고등학교 교육과정상에선 극한을 애초에 엉터리로 정의한다. '한없이 다가가는' 따위의 이상한 표현을 쓰기 때문인데, 전혀 수학적이지 못하다. 난 그래서 고등학교 수학이 싫다. 제곱근에 대한 개념 없이 피타고라스의 정리를 설명하는 느낌이다.

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그래서, 엡실론-델타 논법을 가져와보겠다. 새로운 연속의 정의를 살펴보자.

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이때 델타가 '0보다 큰' 양수이므로 x≠a여야만 한다. 단순하게, f(x)=x², a=3이라고 해놓고 엡실론을 0.1로 잡아보자.

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x의 값을 0.01로 잡았더니, 델타의 값이 0.01보다 크기만 하면 된다. 물론 이것으로 간단히 끝나진 않는다. 극한의 개념을 끌고와서, 엡실론과 델타의 관계를 정리해보자.

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|x-3|의 절댓값이 델타보다 작다는 것은, 쉽게 말하면 x와 3의 '거리'가 델타보다 작다는 것이다. 다시 말해, x에 델타를 더한 거리는 3보다 작다. 관계식을 다시 정리해보자.

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델타에 대한 멋진 식이 나왔다. 극한과 연속의 정의는, 델타가 "존재하기만 하면 된다"라는 것이었다. 그럼 위 식을 자세히 살펴보자. 엡실론은 양수이므로 근호 안이 음수가 될 수 없다. ∃δ. 엡실론을 아무리 작게 줄여도, ∃δ이다. 델타는 반드시 존재한다. 엡실론-델타 논법에 의해 f(x)=x²은 x=3에서 극한값을 갖는다.

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x < 3인 x를 아무리 크게 해도, 엡실론은 아주 작게나마 존재할 것이다. 델타는 그런 엡실론보다 더 작게 존재한다. 그렇다면 이 함수는 뭐다? 그렇다, 연속이다.

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미분과 도함수

미분한다는 것은 곧 그래프의 기울기를 구한다는 뜻이다. 아까 예시로 들었던 함수 f(x)=x²의 x=3에서의 미분계수를 구해보자.

미분계수는 평균변화율의 극한값이다. x=3에서 h만큼 더 간다면, f(x)는 얼마만큼 가겠는가. 미분계수도 결국 극한값이기에, 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 미분계수가 존재할 수 있다.

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미분계수를 일반화하면 도함수가 된다.

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f'(x)=2x이다. 기초 지식은 끝났다. 이제 질문을 던지러 가보자.

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불연속 함수에서 미분을 하면

미분 불가능한 함수를 세 가지 경우로 나누겠다.

연속인 경우

- 1) 첨점이 있을 때 (y=x)

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불연속인 경우

- 2) 끊어져 있을 때

- 3 함숫값이 없을 때 (y=x(x-1)/x, x=0에서 정의되지 않음)

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1번이야 좌미분계수와 우미분계수가 달라 미분계수가 존재하지 못하고, 2번은 아예 뭐 미분이라 할 것도 없다. 그런데 문제는 3번이다. 지오지브라로 그려봐도 직선으로 나온다. 사실 부드러운 곡선(smooth curve)상의 한 점이 정의되지 않는 경우에는, 극한값을 이용해서 강제로 미분할 수 있지 않을까?

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여기서부턴 고3의 머리가 필요하다. 합성함수의 미분법을 통해 미분하면 안 되는 함수를 강제로 미분해보겠다.

두 함수를 준비했다. 첫째는 f1(x) = x², 평범한 이차함수다. 두 번째는 강제로 분모를 만들어 x=3에서 함숫값이 존재하지 않도록 했다. 즉, 실제 녹색 그래프의 x=3에서는 빈 공간으로 정의된다.

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극한값을 구하는 경우라면, 분모와 분자를 약분할 수 있다. 그러나 여기서 주어진 함수식을 무턱대고 약분하다가는 두 함수가 같아져버린다. f1(x)와 f2(x)는 엄연히 다른 함수다. 어쨌든, 두 함수의 x=3에서의 극한값과 도함수를 각각 구해보겠다.

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...? 뭐지? 둘이 도함수가 같아져버린다. 물론 마지막 계산 과정에서 약분을 ⓑ까지 하지 않고 ⓐ까지만 한다면 여전히 x=3에서 정의되지 않는 도함수를 만들 수 있다. 그런데 그게...맞나? 솔직히 지금 좀 혼란스럽다.

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연속함수임을 증명해보자

 

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뭔가 이상한 낌새가 든다. 첫째, 극한값이 9라고 해서 함숫값을 9라고 단정짓고 계산할 수 있는 것은 아니다. 그건 연속함수일 때만 가능하다. 그런데 지금 연속함수라는 가정을 해서 연속함수임을 증명했다. 순환논법이다. 둘째, 정의역 밖에 대해서 생각하는 게 맞는 건지 의문이 든다. 무리함수 (y=√x)는 x<0, 즉 근호 안이 음수가 되는 구간에선 정의되지 않는다.

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....어?

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뭐가 맞는 걸까

유튜브에서 'Ray 수학' 채널을 운영하시는 Ray님께선 이렇게 말씀하셨다

수학자들도 모순적인 상황들을 수정하고 또 수정해서 만든 게
현재의 수학이에요.

여러분들도 어디가 잘못되었는지는 꼭 한 번

생각해보면서 넘어가시길 바랄게요.

Ray 수학, '로지컬님 보지마세요' 中

분명 불연속인 함수를 미분했는데, 어째서 실수 전체에서 연속인 도함수가 나온 걸까? 사실, 정의역이 완전히 끊어지거나 하는 게 아닌 이상 smooth curve의 한 점의 함숫값이 없는 걸로는... 충분히 미분 가능해보인다. 위 그래프를 보면, x=3일 때 함숫값이 정의되지는 않았다고 해도 직관적으로 접선을 구할 수 있다. 이런 '추론 미분'은 수학에서 인정해주지 않는 걸까.

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일단 정의역을 벗어나서 미분을 하려는 내 시도 자체가 문제 있을 수 있겠다. 그래도, 궁금한 건 꼭 파헤쳐야 직성이 풀리는 타입이라. 당분간 수학선생님들도 내 질문에 같이 고생하실 것 같다.