[수학(상)~미적분] 원의 방정식과 접선, 음함수의 미분법

환영합니다, Rolling Ress의 카루입니다.

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오늘은 수학(상)과 미적분을 잇는 원의 방정식에 대해 간단히 다뤄보겠습니다.

내용이 내용이니만큼, 간단하지는 않을 거예요.

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왼쪽은 r과 m을 각각 1로, 오른쪽은 r을 2로, m을 -3으로 설정한 모습입니다.

​수학(상)에서는 이걸 그냥 간단하게 공식으로만 배웁니다. 이거의 유도 과정은 수학II, 그리고 자세하게는 미적분에서 다뤄요. 접선의 기울기는 미분계수라고 배웠죠? 그런데 원의 방정식은 음함수이기 때문에 조금 구하는 방식이 다릅니다.

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수학(상)에서 사용하는 공식을 이용해 접선을 구하면 저렇게 나옵니다. 우린 이제 저기에 '왜?'라는 질문을 던져야겠죠.

​우선 이걸 전제로 깔고 들어갑니다. 고등학교 과정에선 전/편미분을 다루지 않기에 그냥 이것도 간략화해서 넘어갑니다. 보통은 y = y(x)로 두어 합성함수의 미분법으로 접근하는 게 일반적이죠.

 

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여기서 편미분 기호(델)만 사용하지 않는 거죠. 사실상 과정은 동일합니다.

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그렇다면, 식을 조금 바꿔봅시다.

​원점을 중심으로 하는 원이 아니므로 수학(상)의 공식을 사용할 수 없습니다. 그럼 이 식을 f(x, y)=0꼴로 나타내볼까요.

​전개하면 이런 식으로 나타낼 수 있습니다. 그럼, 편미분해봅시다.

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접선이 나왔네요. 그려서 확인해보죠.

정확합니다. 복잡하게 미분할 것 없이 편미분만 알면 금방 구할 수 있습니다.