두 직선이 이루는 각의 크기를 구해보자 (ft. cos, tan)

 

환영합니다, Rolling Ress의 카루입니다.

이번 글은 이과생을 위한 글입니다. 기하와 미적분 내용을 다루기 때문에 조금 난이도가 높아요.

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1) 벡터를 이용한 두 직선이 이루는 각의 크기 구하기

 

두 직선 l, m의 방향벡터를 벡터 u, 벡터 v로 잡으면 위와 같이 계산할 수 있습니다. 이때 (스칼라*스칼라)분의 내적을 해주면 코사인 값이 나오게 됩니다. 벡터의 내적 연산에서 변형된 것으로, 세타를 90도 미만으로 맞춰주기 위해 절댓값을 씌웁니다. 증명은 크게 어렵지 않아요. 벡터의 내적 연산 공식에서 cos를 제외한 나머지를 우변으로 몰아주고, 절댓값을 씌워주면 끝입니다.

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2) 삼각함수의 덧셈정리를 이용한 두 직선이 이루는 각의 크기 구하기

두 직선 l: y = mx + n, l': y = m'x + n'이 있을 때 사용할 수 있습니다. 다만 기울기의 곱이 -1일 때, 즉 수직으로 교차할 때는 식 자체를 세울 수 없습니다. 여튼, 모양 보시면 아시겠지만 탄젠트 함수의 덧셈정리가 보이죠. 각각의 직선과 x축의 양의 방향이 이루는 각의 크기를 α, β라 하면 tan α = m, tan β = m'입니다. 외각의 성질에 의해 θ = α - β가 됩니다. 따라서 탄젠트에 세타 대신 (α - β)을 대입하면 위와 같은 식을 얻을 수 있습니다.