[사탐방/데이터사이언스] 1. 정규분포곡선의 의미와 해석

환영합니다, Rolling Ress의 카루입니다.

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우리 학교 교육과정 중에 제가 좀 마음에 들지 않아하는 부분인데, 미적분이랑 확률과통계가 선택이죠. 사실 이게 예전에는 경제수학(미적분 내용)/영미 문학 읽기로 분화가 되어 선택권이 넓었으나, 지금은 미적러가 확통 수업을 들을 수 없습니다..ㅋㅋㅋㅋㅋ 그래서 저는 방학 때 통계 관련 공부를 따로 했어요.

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자, 잡소리 그만 하고 시작하죠. 오늘은 사회탐구방법 과목에서 주구장창 쓰이는 곡선인 정규분포곡선에 대해 알아볼 겁니다. 사실 이것 자체는 크게 중요하지 않은데, 몇 가지 중요한 성질들이 있어요.

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**생소한 수학 기호가 많을 수 있습니다. 특히 저 함수식은 몰라도 됩니다. 그래프만 보고 넘어가세요. 식은 이해를 돕기 위한 참고용입니다.

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표준정규분포곡선을 그려보겠습니다. 식은 아래와 같아요.

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편의상 곡선을 f(x)로 잡았습니다. 참고로, 표준정규분포는 다루기 쉬워요. 이거 전체 적분하면 1 나옵니다. 면적 따질 때 이상한 문자 넣을 필요 없이 전체 면적을 1로 잡고 하겠습니다.

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그 다음, 평균과 표준편차가 중요합니다. 각각 μ(뮤)와 σ(시그마)로 나타냅니다. 평균은 이 곡선의 중심을 뜻해요. 위에서는 중심이 x=0 (y축) 이므로 μ=0입니다. 표준편차는 자료가 평균에서 얼마나 많이 떨어져 있는가를 나타내는 것으로, 그래프의 너비를 결정합니다. 참고로 여기선 σ=1입니다.

정규분포곡선의 모든 특징입니다. 중심, 즉 평균 μ로부터 좌/우로 각각 σ만큼 떨어져있는 구간의 정적분 값은 전체 정적분 값의 68%입니다. 즉, 전체 자료 중 68%는 평균을 중심으로 표준편차만큼 떨어진 거리 안에 모두 들어온다라고 생각하시면 됩니다.

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시그마를 두 배로 늘리면 전체 자료의 95.4%가 들어옵니다. 편의상 95%로 하는 경우가 많은데, 95.4%라고 기억해두시는 게 좋아요. 이유는 밑에서 설명하겠습니다. 1.96이라는 수가 어디서 튀어나왔는지 알 수 있거든요.

3표준편차만큼 떨어진 거리 내에서는 전체 자료의 99.7%가 들어옵니다. 근데 여기선 반올림했는지 1로만 뜨네요. 99.7%입니다.

 

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자, 그런데 95.4%와 99.7%는 뭔가 애매하단 말이죠. 95%와 99%로 딱 맞추고 싶습니다. 그럼 정적분의 시작점과 끝점을 조절해야 합니다. 다시 말하면, 색칠한 범위의 양 끝을 조절해서 면적을 줄이겠다는 의미죠. 나중에 p값, z값 등 다양한 것들이 나올텐데, 그게 여기서 나오는 겁니다.

사실 이건 외워두면 편해요. 양 끝을 2가 아니라 1.96으로 줄이면 색칠한 부분의 넓이는 전체 면적의 정확하게 95%가 됩니다. 95%? 맞아요. 나중에 언급하겠지만, 이건 p-value가 0.05일 때 영가설(H0)의 채택역을 나타내는 구간입니다.

여기도 마찬가지예요. 양 끝을 3이 아니라 2.58로 줄였습니다. 그럼 이 면적은 정확하게 99%가 됩니다. 마찬가지로, 여기도 p-value가 0.01일 때 영가설(H0)의 채택역을 나타내는 구간이 됩니다.

연습문제 하나 보고 갑시다. 유의수준은 0.05입니다. 지금은 표준 정규분포곡선으로 나타낸 거라 x축이 1.96이 되는 지점에서 곡선이 끊겨있죠. 이걸 p값으로 나타내면 0.025가 되는 구간에서 끊길 겁니다. 헷갈릴 수 있습니다. 그냥 비율을 가지고 판단한다고 보시면 됩니다. 만약 유의도 검정을 하는데 p값이 저렇게 S2 안에 들어와버렸다, 그러면 이건 표집 오류가 생긴 겁니다. 반대로 이 범위를 벗어나는 오른쪽 직선의 경우 H0을 기각할 수 있는 거죠.

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다만, p값과 Ha의 기각/수용 여부를 따지지 마세요. 사실 연계는 되지만, 그렇게 접근하면 크게 썰리는 수가 있습니다. p값은 그냥 표본 평균의 분포를 나타낸 것에 불과해요. 자세한 설명은 다음 글에서 하겠습니다.

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어떤 과목의 평균이 80점, 표준편차가 5라고 합시다. 그럼 2σ, 즉 10점 거리에 있는 학생들이 전체 학생의 약 95.4%입니다. 내가 92점이라면 상위 몇 %일까요? 일단 [70, 90] 범위에 없으므로 95%에 해당하지 않습니다. 그럼 나머지 5%에 속하겠네요. 그런데 왼쪽은 아니죠. 그럼 반띵. 즉, 상위 2.5%에 해당한다는 걸 알 수 있습니다. 정규분포곡선의 표준편차는 이런 식으로 활용하는 겁니다.